تکانه و قانون بقای آن — درس‌نامه کامل برای متوسطه دوم

مقدمه‌ای بر مفهوم تکانه

تکانه (یا مومنتوم) یکی از کمّی‌های بنیادی در مکانیک کلاسیک است که رفتار اجسام در حرکت را توصیف می‌کند و ارتباط تنگاتنگی با نیرو و تغییرات حرکت دارد. در سطح متوسطه دوم باید دید که چرا تعریف تکانه به صورت حاصل‌ضرب جرم و سرعت منطقی است و چگونه این کمّی توانایی حفظ اطلاعات دربارهٔ حرکت را دارد. تکانه یک بردار است؛ یعنی هم بزرگی و هم جهت دارد و همین ویژگی در برخوردها و انتقال حرکت بین اجسام بسیار مهم می‌شود. در فیزیک جدید نیز مفهوم تکانه هنوز اهمیت دارد و حتی در نسبیت و مکانیک کوانتومی تعمیم‌هایی از آن وجود دارد، اما در این درس‌نامه تمرکز بر کاربردهای کلاسیک و مسائل آزمایشگاهی است. شناخت تکانه و خاصیت‌های آن پایه‌ای برای فهم قانون بقای تکانه و تحلیل برخوردها است. در ادامه به تعاریف، مشتقات ریاضی، و مثال‌های متنوعی می‌پردازیم تا شناخت عمیقی از این کمّی به‌دست آید.

تعریف ریاضی تکانه

در مکانیک نیوتنی، تکانهٔ خطی یک ذره به صورت حاصل‌ضرب جرم در سرعت تعریف می‌شود. این تعریف ساده اما قدرتمند است و پایهٔ بسیاری از تحلیل‌های حرکت را تشکیل می‌دهد. به طور ریاضی برای ذره‌ای با جرم $m$ و سرعت oldsymbol{v}، تکانه چنین نوشته می‌شود:
$$\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}.$$ تعریف به صورت برداری تأکید می‌کند که جهت تکانه همان جهت سرعت است و بزرگی آن متناسب با جرم و اندازهٔ سرعت خواهد بود. در مسائل با چند جسم، تکانه کل برابر برداری جمع تکانه‌های تک تک اجسام است:
$$\boldsymbol{P}_{\text{کل}}=\sum_i m_i\boldsymbol{v}_i.$$ این رابطه در توصیف سامانه‌های بسته و برخوردها نقش کلیدی دارد و امکان تحلیل حفظ یا تغییر حرکت کل سیستم را فراهم می‌کند.

ارتباط تکانه با نیرو و قانون دوم نیوتن

قانون دوم نیوتن را می‌توان به صورت رابطه‌ای بین تغییر تکانه و نیرو نوشت که دید جامع‌تری ارائه می‌دهد. به این صورت که نرخ تغییر تکانه برابر با نیروی وارد بر ذره است. به طور رسمی داریم:
$$\boldsymbol{F}=\dfrac{d\boldsymbol{p}}{dt}.$$ اگر جرم ثابت باشد این رابطه به صورت کلاسیک به فرم $\boldsymbol{F}=m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=m\boldsymbol{a}$ تبدیل می‌شود. این بازنویسی اهمیت تکانه را نشان می‌دهد، زیرا در شرایطی که جرم تغییر می‌کند (مثلاً در موشک‌ها) استفاده از بیان $\dfrac{d\boldsymbol{p}}{dt}$ ضروری است. همین‌طور این شکل معادله، مبنای تعریف ضربه (ایمپالس) است که اندازهٔ اثر نیرویی وارد شده در مدت زمان معین را بیان می‌کند. در مسائل برخورد و انتقال حرکت، بررسی تغییر تکانه ابزار اصلی تحلیل است.

تعریف ضربه (ایمپالس) و رابطهٔ آن با تکانه

ضربه یا ایمپالس کمّیتی است که تغییر تکانهٔ یک جسم را در طول یک بازهٔ زمانی نشان می‌دهد و از طریق انتگرال نیروی وارد بر جسم تعریف می‌شود. اگر نیرویی زمان‌متغیر بر جسم وارد شود، ضربه برابر است با انتگرال آن نیرو روی بازه زمانی:
$$\boldsymbol{J}=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}(t)\,dt.$$ از قانون دوم نیوتن نتیجه می‌شود که ضربه برابر تغییر تکانه است:
$$\boldsymbol{J}=\Delta\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}(t_2)-\boldsymbol{p}(t_1).$$ این مفهوم برای برخوردهای کوتاه‌زمان (مانند برخورد دو توپ بیلیارد) بسیار مفید است، زیرا نیروی لحظه‌ای ممکن است خیلی بزرگ باشد اما با ضربه می‌توان اثر کلی را محاسبه کرد. ضربه همچنین ابزاری است برای محاسبهٔ نیروهای میانگین در برخوردها:
$$\bar{\boldsymbol{F}}=\dfrac{\boldsymbol{J}}{\Delta t}.$$

قانون بقای تکانه — بیان کلی و شرایط آن

قانون بقای تکانه می‌گوید که اگر بر یک سامانهٔ بسته نیروی خارجی خالصی وارد نشود، تکانهٔ کل آن سامانه در طول زمان ثابت می‌ماند. این قانون یکی از قوانین بنیادی حفظ در فیزیک است و در تحلیل برخوردها و واکنش‌ها بسیار کاربردی است. به زبان ریاضی اگر مجموع نیروهای خارجی صفر باشد آنگاه داریم:
$$\dfrac{d\boldsymbol{P}_{\text{کل}}}{dt}=\boldsymbol{0}\quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{P}_{\text{کل}}(t_1)=\boldsymbol{P}_{\text{کل}}(t_2).$$ شرط سامانهٔ بسته معمولاً به این معنی است که نیروهای میان‌ذره‌ای داخلیِ بین اجسام داخل سامانه جفتی و برابر و مخالف هستند و بنابراین بر تکانهٔ کل اثری ندارند. در عمل باید دقت کنیم که وجود نیروی اصطکاک یا نیروی خارجی دیگر ممکن است قانون را نقض کند مگر اینکه اثرشان نادیده گرفته شود یا در محاسبات وارد شود.

انواع برخوردها: ارتجاعی، غیرارتجاعی و کاملاً غیرانعطاف‌پذیر

برخوردها را از نظر انرژی جنبشی ناظر به سه دسته می‌توان تقسیم‌بندی کرد: برخورد کاملاً ارتجاعی، برخورد غیرارتجاعی و برخورد کاملاً غیرانعطاف‌پذیر (چسبیدن). در همهٔ این حالات تکانهٔ کل سیستم در صورت نبود نیروهای خارجی حفظ می‌شود، اما انرژی جنبشی ممکن است تغییر کند. در برخورد کاملاً ارتجاعی علاوه بر حفظ تکانه، انرژی جنبشی کل نیز حفظ می‌شود. در برخورد غیرارتجاعی مقداری از انرژی جنبشی به صورت گرما، تغییر شکل یا انرژی داخلی دیگر تبدیل می‌شود. در حالت کاملاً غیرانعطاف‌پذیر دو جسم پس از برخورد با هم می‌چسبند و با سرعت مشترک حرکت می‌کنند؛ در این حالت محاسبهٔ سرعت مشترک با استفاده از بقای تکانه ساده و سریع است. انتخاب مدل برخورد در حل مسائل بستگی به ماهیت فیزیکی مسئله و اطلاعات داده‌شده دارد.

مثال محاسباتی: برخورد کاملاً غیرانعطاف‌پذیر

فرض کنید دو جسم با جرم‌های $m_1$ و $m_2$ و سرعت‌های اولیهٔ $v_1$ و $v_2$ در راستای یک بعد با هم برخورد کرده و پس از برخورد به هم می‌چسبند. این یک برخورد کاملاً غیرانعطاف‌پذیر است و تکانهٔ کل قبل و بعد برابر است. بنابراین با نوشتن بقای تکانه داریم:
$$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)V_{\text{مشترک}}.$$ از این رابطه سرعت نهایی مشترک به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:
$$V_{\text{مشترک}}=\dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}.$$ این فرمول به‌ویژه برای آزمایش‌های آزمایشی و مسائل تستی اهمیت دارد و نشان می‌دهد که سرعت نهایی یک میانگین وزنی از سرعت‌های اولیه است. اگر یکی از اجسام ساکن باشد، رابطه ساده‌تر شده و به راحتی قابل محاسبه است.

مثال محاسباتی: برخورد کاملاً ارتجاعی در یک بعد

در برخورد کاملاً ارتجاعی علاوه بر بقای تکانه باید بقای انرژی جنبشی نیز برقرار باشد. برای دو جسم در یک بعد دو معادلهٔ مستقل برای یافتن سرعت‌های نهایی وجود دارد: بقای تکانه و بقای انرژی جنبشی. معادلات عبارتند از:
$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$$ و
$$\tfrac{1}{2}m_1v_1^2+\tfrac{1}{2}m_2v_2^2=\tfrac{1}{2}m_1v_1'^2+\tfrac{1}{2}m_2v_2'^2.$$ با حل دستگاه معادلات می‌توان سرعت‌های پس از برخورد $v_1'$ و $v_2'$ را به‌دست آورد که در کتاب‌های درسی روابط بسته‌ای نیز برای آن‌ها ارائه شده است. این نوع برخورد‌ها در مکانیک ذرات و سنجش‌های آزمایشگاهی اهمیت دارند و در بسیاری از مثال‌های مسائل کنکور و تمرینات دورهٔ دبیرستان مطرح می‌شود.

• اگر جرم‌ها برابر باشند، در برخورد ارتجاعی سرعت‌ها با هم تبادل می‌شوند.
• در برخورد با جسم بسیار سنگین (جرم دوم بسیار بزرگ) جسم سبک پس از برخورد تقریباً با سرعت منفی اولیهٔ خود بازمی‌گردد.

مرکز جرم و تکانهٔ کل

مرکز جرم سامانه نقطه‌ای است که رفتار کل سامانه از نظر حرکت قابل توصیف توسط آن نقطه می‌شود و برای محاسبهٔ تکانهٔ کل کاربرد دارد. تعریف مرکز جرم برای چند ذره به صورت زیر است:
$$\boldsymbol{R}_{\text{CM}}=\dfrac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol{r}_i$$ که $M=\sum_i m_i$ جرم کل است و $\boldsymbol{r}_i$ بردار موقعیت هر ذره نسبت به مرجع انتخابی است. تکانهٔ کل سیستم را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب جرم کل در سرعت مرکز جرم نوشت:
$$\boldsymbol{P}_{\text{کل}}=M\boldsymbol{V}_{\text{CM}}.$$ این نتیجه نشان می‌دهد که حرکت مرکز جرم مستقل از حرکت‌های داخلی بوده و تحت شرایط بسته و بدون نیروی خارجی دارای حرکت ساده‌ای است. تحلیل حرکت مرکز جرم به ویژه در مسائل تصادف خودروها و سیستم‌های چندجرمی بسیار راهگشا است.

تکانه زاویه‌ای و قانون بقای آن

علاوه بر تکانهٔ خطی، مفهوم تکانهٔ زاویه‌ای نیز اهمیت دارد که به دوران و چرخش اشیاء مربوط می‌شود. تکانهٔ زاویه‌ای برای ذره‌ای نسبت به نقطه‌ای به صورت بردار حاصل‌ضرب مکان در تکانه تعریف می‌شود:
$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}.$$ همانند تکانهٔ خطی، اگر گشتاور نیروی خارجی نسبت به نقطهٔ موردنظر صفر باشد آنگاه تکانهٔ زاویه‌ای کل سامانه حفظ می‌شود. قانون بقای تکانهٔ زاویه‌ای پایهٔ بسیاری از پدیده‌ها مانند پایداری چرخ‌ها، پرتاب‌های آسمانی و رفتار اسکیت‌بازهایی است که با جمع یا باز کردن دست‌هایشان سرعت زاویه‌ای خود را تغییر می‌دهند. تحلیل مقدار و جهت تکانه زاویه‌ای برای مسائل دوران و برخوردهای غیرمرکزی ضروری است.

کاربردهای عملی و مثال‌های واقعی

قانون بقای تکانه در بسیاری از مسائل روزمره و فناوری‌ها کاربرد دارد؛ از تصادفات رانندگی تا پرتاب ماهواره و طراحی ایمنی. در تصادفات، تحلیل تکانه‌ها کمک می‌کند تا سرعت‌های نهایی خودروها و نیروهای وارده بر سرنشینان برآورد شود و از این طریق می‌توان ساختارهای ایمنی بهینه ایجاد کرد. در صنایع موشکی، مفهوم ضربه و تغییر تکانه برای محاسبهٔ رانش و عملکرد مرحله‌ای موتورهای موشک حیاتی است. همچنین در آزمایشگاه‌های فیزیک ذرات، برخوردهای با انرژی بالا تحلیل می‌شوند و بقای تکانه ملاک مهمی برای جداسازی ذرات و بررسی فرآیندهای بنیادی است. یادگیری کاربردهای عملی باعث می‌شود دانش‌آموزان درک بهتری از اهمیت مفاهیم داشته باشند و انگیزهٔ بیشتری برای حل مسائل و انجام آزمایش‌ها پیدا کنند.

نکات حل مسئله و روش‌های تحلیلی

برای حل مسائل تکانه، ابتدا سامانهٔ مناسبی را انتخاب کنید که شامل اجسام متداخل باشد و مرزهای سامانه را مشخص کنید تا نیروهای خارجی قابل شناسایی باشند. قدم بعدی نوشتن معادلات بقای تکانه در راستای‌های مناسب و بررسی وجود یا عدم وجود بقای انرژی جنبشی است. اگر برخورد ارتجاعی است از معادلهٔ بقای انرژی هم کمک بگیرید، و اگر کاملاً غیرانعطاف‌پذیر است از فرمول میانگین وزنی برای سرعت استفاده کنید. ترسیم نمودار جسم-در-حرکت، بردارهای سرعت اولیه و نهایی و نشانه‌گذاری جهت‌ها معمولاً از اشتباهات جلوگیری می‌کند. در مسائلی که نیروهای خارجی کوچک هستند اما قابل چشم‌پوشی نیستند، می‌توان اثرشان را با محاسبهٔ ضربهٔ خارجی وارد شده بر سامانه در نظر گرفت.

تمرین‌های پیشنهادی برای یادگیری عمیق‌تر

برای تسلط بر تکانه و قانون بقای آن، مجموعهٔ تمرین‌هایی با سطوح مختلف پیشنهاد می‌شود که شامل موارد عددی، نموداری و آزمایشگاهی باشند. از مسائل سادهٔ یک‌بعدی شروع کنید: برخورد دو جسم، برخورد با جسم ساکن و محاسبهٔ سرعت‌های نهایی. سپس مسائل دو بعدی با برخورد‌های مورب و تجزیهٔ بردارها را تمرین کنید تا مهارت تبدیل و جمع برداری افزایش یابد. تمرین‌های آزمایشگاهی مانند اندازه‌گیری سرعت قبل و بعد از برخورد توپ‌های بیلیارد یا استفاده از واگن‌کِشی با شتاب‌سنج، فهم تجربی را تقویت می‌کند. پس از آن مسائل پیشرفته‌تر شامل تغییر جرم (مانند موشک) و استفاده از مفهوم ضربه برای محاسبهٔ نیروهای بزرگ و کوتاه‌مدت را تمرین کنید.

• بررسی برخورد در دو بعد با زاویه و تحلیل برداری
• مدل‌سازی برخورد با اتلاف انرژی و محاسبهٔ انرژی از دست‌رفته

جمع‌بندی و نکات کلیدی

تکانه یک کمّی بنیادی و برداری است که با ضرب جرم در سرعت تعریف می‌شود و تغییر آن برابر با نیروی وارد است. قانون بقای تکانه در سامانه‌های بسته ابزاری قدرتمند برای تحلیل برخوردها و انتقال حرکت است و در هر شرایطی که نیروهای خارجی خالص صفر باشند صدق می‌کند. تفاوت انواع برخوردها در این است که انرژی جنبشی ممکن است حفظ یا تبدیل شود ولی تکانهٔ کل در همهٔ این حالات (بدون نیروهای خارجی) حفظ می‌شود. ضربه کمّیتی است که تغییر تکانه در یک بازهٔ زمانی را نشان می‌دهد و در برخوردهای کوتاه‌مدت کاربرد عملی دارد. آشنایی کامل با این مفاهیم همراه با تمرین عددی، رسم بردارها و کار تجربی پایه‌ای برای موفقیت در فیزیک متوسطه دوم و مسائل کنکور است.